Resolver um sistema de equações lineares online

Esta calculadora resolve um sistema de equações lineares com duas a quatro equações e duas a quatro incógnitas. Ela dá a solução do sistema, o determinante, o posto e a classificação do sistema (SPD, SPI ou SI), traça as retas quando há apenas duas incógnitas e mostra as etapas do cálculo.

Tudo é calculado no seu navegador, em frações exatas: nada do que você digita é enviado ao site, e um determinante nulo é reconhecido como tal, em vez de ser aproximado a 0,000000001.

O que é um sistema de equações lineares?

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do primeiro grau que devem ser verdadeiras ao mesmo tempo, com as mesmas incógnitas. O mais comum é o sistema de duas equações com duas incógnitas:

2x + 3y = 8
x − y = −1

Resolvê-lo é encontrar o par ordenado (x ; y) que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo: aqui, (1 ; 2). Cada equação representa uma reta no plano cartesiano, e a solução é o ponto onde essas retas se cruzam: são as coordenadas dele que a calculadora mostra.

Como usar esta calculadora?

• Primeiro, ajuste o número de equações e de incógnitas com os botões + e −. Os coeficientes já digitados são mantidos quando você aumenta ou diminui o sistema.
• Digite os coeficientes de cada equação e depois o termo independente, depois do sinal de igual. Uma caixa deixada em branco vale zero: não é preciso escrever “0” para uma incógnita ausente de uma equação.
• O resultado aparece automaticamente, sem botão para apertar: a classificação do sistema, a solução e depois o detalhe (determinante, postos, variáveis livres).
• O botão Resultados em frações alterna entre a escrita decimal e a escrita em frações, mais exata quando a solução não é um número redondo.
• O botão Passo a passo mostra a resolução completa: a regra de Cramer quando ela se aplica e depois o escalonamento de Gauss-Jordan linha por linha.
• O botão Exemplo preenche o sistema acima, para conhecer a ferramenta.

A solução do sistema

Quando o sistema tem uma única solução, a calculadora a escreve como par ordenado (x ; y) para duas incógnitas, terno ordenado (x ; y ; z) para três e (x ; y ; z ; t) para quatro. Cada incógnita aparece depois na sua própria linha.

Com duas incógnitas, um gráfico é traçado abaixo do resultado. Cada equação vira uma reta, com uma cor e lembrada na legenda, e o ponto de interseção é marcado com as suas coordenadas. O gráfico é centrado na solução, o que a mantém visível mesmo quando ela fica longe da origem.

Resolver um sistema de três equações com três incógnitas

O princípio não muda além de duas incógnitas: ajuste o tamanho para três equações e três incógnitas, digite os coeficientes, e a calculadora resolve o sistema linear da mesma maneira. Desta vez, cada equação representa um plano do espaço, e a solução é o ponto comum aos três planos. O gráfico não é traçado, mas a solução e as etapas continuam aparecendo.

x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 2

O determinante desse sistema vale 7: ele não é nulo, então a solução é única. O escalonamento de Gauss-Jordan elimina uma incógnita depois da outra até dar para ler os valores diretamente, e a solução é (1 ; 2 ; 3). Conferindo: 1 + 2 + 3 = 6, 2 − 2 + 3 = 3 e 1 + 4 − 3 = 2.

Com quatro incógnitas, a última se chama t e a solução se escreve (x ; y ; z ; t). O número de equações não precisa ser igual ao número de incógnitas: sistemas retangulares são aceitos, como duas equações com três incógnitas, que nunca têm solução única: ou nenhuma, ou infinitas.

A classificação de um sistema: SPD, SPI e SI

Um sistema linear nunca tem exatamente duas soluções: ele tem uma, nenhuma ou infinitas. A calculadora indica qual é o caso.

• Sistema possível e determinado (SPD): uma única solução. As retas se cortam num só ponto. É o caso de um sistema quadrado cujo determinante não é nulo.
• Sistema impossível (SI): nenhuma solução. As equações se contradizem, como duas retas paralelas distintas. O escalonamento faz aparecer uma linha do tipo “0 = 3”, que é falsa.
• Sistema possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções. Uma equação não acrescenta nada às outras, como duas retas coincidentes. A calculadora dá então o conjunto solução na forma paramétrica, por exemplo x = 2 − y com y qualquer em ℝ.

Determinante, posto e variáveis livres

O determinante só existe para um sistema quadrado, isto é, com tantas equações quanto incógnitas. Se ele não é nulo, o sistema é possível e determinado; se é nulo, o sistema é impossível ou indeterminado.

O posto (ou característica) é o número de equações realmente independentes, depois de eliminadas as redundâncias. Comparado ao posto da matriz ampliada (a que inclui os termos independentes), ele decide tudo: é o teorema de Rouché-Capelli.

• posto do sistema < posto da matriz ampliada ⇝ sistema impossível;
• posto do sistema = posto da matriz ampliada = número de incógnitas ⇝ sistema possível e determinado;
• posto do sistema = posto da matriz ampliada < número de incógnitas ⇝ sistema possível e indeterminado.

O número de variáveis livres é a diferença entre o número de incógnitas e o posto: é a quantidade de incógnitas que podem ser escolhidas livremente, as outras saindo delas.

Os métodos de resolução

Substituição

Isola-se uma incógnita numa equação e depois se substitui a sua expressão nas outras. É o primeiro método ensinado, prático num sistema de duas incógnitas com coeficientes simples.

Adição (eliminação)

Multiplicam-se as equações para obter coeficientes opostos e depois elas são somadas para eliminar uma incógnita. É o princípio que o escalonamento aplica de forma sistemática.

Regra de Cramer

Para um sistema quadrado de determinante D não nulo, cada incógnita é o quociente de dois determinantes: x = D_x ÷ D, em que D_x é o determinante obtido substituindo a coluna de x pela dos termos independentes. A calculadora detalha esses determinantes nas etapas.

Escalonamento de Gauss-Jordan

Escreve-se a matriz ampliada do sistema e depois ela é reduzida linha por linha até dar para ler as soluções diretamente. É o método geral: funciona qualquer que seja o número de equações e de incógnitas, e é ele que reconhece os sistemas impossíveis e indeterminados. É também o que a calculadora aplica em todos os casos.

Frações, decimais e caixas vazias

Os coeficientes aceitam inteiros, números negativos, decimais com vírgula ou ponto (2,5 ou 2.5) e frações escritas “a/b” (por exemplo 3/4 ou -2/3). Uma caixa deixada em branco vale zero.

Os cálculos são feitos em frações exatas do começo ao fim. A exibição, você escolhe: em decimais por padrão, ou em frações com o botão próprio. A sua escolha é lembrada pelo navegador nas próximas visitas, assim como o tamanho do sistema.

Para que serve resolver um sistema?

Um sistema linear aparece assim que várias restrições proporcionais valem ao mesmo tempo: dividir um orçamento entre dois itens sabendo o total e a diferença, encontrar dois preços unitários a partir de duas compras, dosar uma mistura, balancear uma equação química, calcular a corrente em cada ramo de um circuito com as leis de Kirchhoff ou ajustar uma reta que passa por pontos dados.

É também a base do cálculo com matrizes: resolver AX = B é resolver um sistema, e o determinante que esta página mostra é o da matriz A.

Atalhos de teclado

Os atalhos de teclado desta calculadora ajudam a ganhar tempo:

m ⇝ Limpar

f ⇝ Salvar o cálculo no histórico

Na grade, as setas, a tecla Enter e a tecla Tab levam o cursor de uma caixa à outra sem sair do sistema.

O histórico dos resultados

Ao clicar em Salvar, cada resolução é registrada numa tabela com o sistema, a sua classificação, a solução e o determinante. Depois, você pode exportá-la em CSV para uma planilha, ou em PDF.

Exemplo de resolução

Vejamos o sistema 2x + 3y = 8 e x − y = −1. O seu determinante vale 2 × (−1) − 3 × 1 = −5, que não é nulo: o sistema é possível e determinado.

Pela regra de Cramer, D_x = 8 × (−1) − 3 × (−1) = −5 e D_y = 2 × (−1) − 8 × 1 = −10, então x = −5 ÷ −5 = 1 e y = −10 ÷ −5 = 2. A solução é (1 ; 2), e conferimos que 2 × 1 + 3 × 2 = 8 e 1 − 2 = −1.