Álgebra de Boole: o cálculo dos circuitos eletrônicos, explicado de forma simples

Esta ferramenta não garante o resultado. Ela é fornecida a título indicativo e didático: confira os resultados importantes antes de usá-los, principalmente numa montagem real.

A álgebra de Boole é o cálculo que todos os circuitos eletrônicos usam, do controle remoto ao computador. Ela cabe em pouquíssimas regras, porque só conhece dois valores: 0 e 1. Esta página faz o cálculo por você, mas sobretudo mostra o que acontece: escreva uma expressão, clique nas entradas e veja a corrente circular até a lâmpada.

Para começar bem, sem saber nada:

• Clique numa porta, como E, em “Está começando?”: o esquema é desenhado, com a explicação.
• Mude as entradas A e B e olhe a lâmpada: é a melhor maneira de entender o que uma porta faz.
• Passe para a vista Interruptores e lâmpada: o mesmo cálculo, com interruptores de verdade. Todo mundo sabe como funcionam.
• Depois experimente um exemplo da lista, como o alarme residencial, e veja como ele se simplifica.

A ideia em um minuto

Na álgebra de Boole, um valor só pode ser 0 ou 1. Só isso. Conforme o contexto, esses dois valores querem dizer a mesma coisa com nomes diferentes:

Com esses dois valores, três operações bastam para construir tudo:

• NÃO inverte: NÃO 0 = 1, e NÃO 1 = 0. Ele se escreve com uma barra em cima: A.
• E exige que tudo seja verdadeiro: A·B vale 1 somente se A e B valem 1 os dois.
• OU exige que pelo menos uma coisa seja verdadeira: A + B vale 1 assim que A ou B vale 1.

Uma expressão como A·B + C é só uma frase abreviada: “A e B, ou então não C”.

Por que 1 + 1 = 1?

É a primeira surpresa: na álgebra de Boole, 1 + 1 = 1. Não é um erro, porque o + não quer dizer “somar” e sim “OU”. Se A vale 1 e B vale 1, então “A ou B” é verdadeiro, simplesmente: 1. Não existe o valor 2.

Não confunda com a soma de números binários, em que 1 + 1 = 10 (escreve-se 0 e vai 1), como na ferramenta de conversão para binário. Fazer essa soma com portas lógicas pede, aliás, um pequeno circuito: é o exemplo “Somador completo” da lista.

Entender tudo com interruptores

Imagine uma pilha, uma lâmpada e interruptores no mesmo fio:

• E são interruptores um depois do outro (em série). A corrente precisa atravessar todos: se um só estiver aberto, a lâmpada fica apagada.
• OU são interruptores lado a lado (em paralelo). A corrente tem vários caminhos: basta um interruptor fechado para a lâmpada acender.
• NÃO é um interruptor que funciona ao contrário: quando acionado, ele corta a corrente em vez de deixá-la passar.
• OU exclusivo são dois comutadores, como os interruptores paralelos (three-way) de uma escada. Um comutador nunca está aberto: ele manda a corrente para um dos seus dois fios. Ligados por dois fios, dois comutadores acendem a lâmpada quando mandam a corrente para o mesmo fio: mudar qualquer um dos dois muda o seu estado.

É exatamente o que desenha a vista Interruptores e lâmpada da calculadora, para qualquer expressão. Em 1937, Claude Shannon mostrou na sua dissertação de mestrado no MIT que a álgebra de Boole permitia calcular e simplificar os circuitos de interruptores e relés. Os circuitos digitais continuam se apoiando nessa ideia.

As sete portas lógicas

Uma porta lógica é um pequeno componente eletrônico que faz uma dessas operações: ela recebe tensões nas suas entradas e produz uma na sua saída. Existem sete tipos comuns. Na tabela abaixo, a coluna “A, B = 00 01 10 11” dá a saída para cada uma das quatro combinações.

Cada porta tem dois símbolos, o que muitas vezes confunde no começo. As formas arredondadas vêm da norma americana ANSI; os retângulos, da norma internacional IEC 60617, com um sinal dentro: & para E, ≥1 para OU, =1 para o OU exclusivo. Nos dois casos, um pequeno círculo na saída quer dizer “invertido”. Os cursos e as folhas de dados usam um ou outro: a calculadora desenha os dois, e um botão abaixo do esquema permite escolher.

As portas NÃO-E e NÃO-OU têm uma particularidade: cada uma, sozinha, basta para construir qualquer circuito. O painel Outras escritas mostra isso na sua expressão.

Como escrever uma expressão?

Existem várias notações, e a calculadora entende todas. Escreva como no seu curso:

Uma barra sobre várias letras se escreve com parênteses: /(A+B) dá A + B, que não se confunde com /A+B, que dá A + B. As variáveis são letras, maiúsculas ou minúsculas, eventualmente seguidas de um algarismo (E1), e AB se lê A·B. Até 6 variáveis, ou seja, 64 linhas de tabela.

Como no cálculo comum, algumas operações vêm antes das outras: primeiro os parênteses, depois o NÃO, depois o E, depois o OU. A + B·C quer dizer, portanto, A + (B·C). Para o OU exclusivo, os costumes variam: a calculadora o lê depois do E e antes do OU, o mostra com parênteses para tirar a dúvida e avisa você. O melhor continua sendo escrevê-los.

Mais duas escritas úteis: S = A.B dá um nome à saída, e /(A.B) = /A + /B verifica se duas expressões são iguais. Prático para testar uma regra, ou a resposta de um exercício.

Ler uma tabela-verdade

Uma tabela-verdade dá a saída do circuito para todas as combinações possíveis das suas entradas. Como cada entrada pode valer 0 ou 1, há 2 linhas com uma entrada, 4 com duas, 8 com três, 16 com quatro: o número de linhas dobra a cada entrada a mais. As linhas se seguem contando em binário: 000, 001, 010, 011…

Ela funciona nos dois sentidos. Com uma expressão, calcula-se cada linha; a caixa Mostrar o cálculo de cada porta acrescenta as colunas intermediárias, como se faria à mão. E a partir de uma tabela, reencontra-se uma expressão, o que faz o modo Preencher uma tabela-verdade:

• pega-se cada linha em que a saída vale 1;
• escreve-se essa linha como um produto, barrando as variáveis que valem 0: a linha A = 1, B = 0, C = 1 dá A·B·C;
• somam-se todos esses produtos, o que dá a forma canônica (soma de mintermos);
• simplifica-se.

As regras para simplificar uma expressão

Simplificar é encontrar uma expressão mais curta que dá exatamente a mesma tabela-verdade. Todas essas regras se verificam substituindo as letras por 0 e 1; você também pode digitá-las na calculadora, por exemplo A + A.B = A.

O teorema de De Morgan é o que mais se usa, e aquele em que mais se erra: A·B não é igual a A·B. A barra cortada também muda o sinal. Digite /(A.B) = /A./B para ver em quais linhas essas duas expressões diferem.

O painel Simplificação, passo a passo aplica essas regras à sua expressão, uma depois da outra, com as letras do seu exercício. No fim, um sinal de conferido indica que a forma obtida foi comparada com a de partida, linha por linha.

O mapa de Karnaugh, passo a passo

As regras acima funcionam, mas é preciso descobrir qual aplicar. O mapa de Karnaugh, apresentado por Maurice Karnaugh em 1953, troca essa busca por um relance, até 4 variáveis:

• Desenha-se uma grade: as variáveis se dividem entre linhas e colunas. Os títulos seguem a ordem 00, 01, 11, 10 (código Gray, e não 00, 01, 10, 11): de uma casa para a vizinha, só uma variável muda. É isso que faz o método funcionar.
• Copia-se a tabela-verdade: cada casa recebe o valor da sua linha.
• Circulam-se os 1 em retângulos de 1, 2, 4 ou 8 casas, os maiores possíveis. Uma casa pode servir várias vezes, e um retângulo pode passar de uma borda para a outra, porque essas bordas também são vizinhas.
• Lê-se cada retângulo: uma variável que muda dentro dele desaparece, uma variável que fica em 1 se escreve tal como está, uma variável que fica em 0 se escreve com uma barra.
• Somam-se os termos obtidos.

No exemplo “Oito termos, quatro variáveis” da lista, dois retângulos de 4 casas bastam, sendo que um ocupa os quatro cantos. Os oito termos de partida viram B·D + B·D. Às vezes há vários agrupamentos possíveis, todos igualmente curtos: duas respostas diferentes podem estar certas ao mesmo tempo, e a calculadora avisa quando é o caso.

As casas X do modo Preencher uma tabela-verdade marcam um caso irrelevante (“tanto faz”). Elas entram num retângulo se isso o aumenta, e ficam de fora caso contrário.

Exemplo completo: da frase ao circuito

Queremos um alarme residencial: a sirene toca se o alarme está ativado e a porta ou a janela está aberta.

• Damos nome às entradas: A para “ativado”, P para “porta aberta”, J para “janela aberta”. S é a sirene.
• Traduzimos a frase: “e” vira um ponto, “ou” vira um mais, e os parênteses seguem o sentido da frase. Isso dá S = A·(P + J).
• Conferimos na tabela: a sirene toca em 3 linhas de 8, aquelas em que A vale 1 e P ou J vale 1.
• Desenhamos: uma porta OU recebe P e J, depois uma porta E recebe A e a saída do OU. Duas portas bastam.

Sem os parênteses, a escrita A·P + J diria outra coisa: a janela dispararia a sirene mesmo com o alarme desligado. Escolha “Um alarme residencial” na lista de exemplos e experimente as duas.

Um circuito com várias saídas

Muitos circuitos dão vários resultados a partir das mesmas entradas: um somador dá um algarismo e um vai-um, o decodificador de um display comanda os seus sete segmentos. O botão + Adicionar uma saída abre mais um campo, até 8: uma expressão por saída, com entradas comuns, até 6 ao todo.

Para dar nome a uma saída, escreva o nome antes da expressão, como S0 = A⊕B. Sem nome, ela se chama S1, S2, S3 conforme a sua posição. Veja, por exemplo, um circuito que conta quantas das suas quatro entradas estão em 1 e dá o resultado em binário:

• S0 = A ⊕ B ⊕ C ⊕ D: o número é ímpar;
• S1 = (A·B) ⊕ (C·D) ⊕ (B·C) ⊕ (A·D) ⊕ (A·C) ⊕ (B·D): ele vale 2 ou 3;
• S2 = A·B·C·D: ele vale 4.

Escolha “Contar as entradas em 1” na lista de exemplos para vê-lo funcionar. A calculadora mostra então:

• a forma simplificada de cada saída, com o número de portas;
• uma única tabela-verdade, com uma coluna por saída;
• um único esquema: todos os circuitos partem dos mesmos fios de entrada, e cada saída tem a sua lâmpada;
• o detalhe de uma saída por vez (as etapas da simplificação, o mapa de Karnaugh, a explicação porta por porta): os botões Detalhe de mudam de saída.

O modo Preencher uma tabela-verdade também permite acrescentar colunas de saída: para um exercício de decodificador, muitas vezes é o mais direto.

Dois limites a conhecer. No esquema, cada saída tem as suas próprias portas, mesmo que duas saídas calculem o mesmo pedaço: numa montagem de verdade, uma só porta pode servir para as duas, e são necessárias menos. E uma saída não pode servir de entrada para outra linha: escreva a expressão dela no lugar. Acima de 40 portas, o esquema só mostra a saída escolhida.

Por que simplificar?

Porque cada porta existe de verdade. Um circuito mais simples pede menos componentes e menos fios: custa menos, consome menos, é mais rápido e dá menos chances de errar na montagem. Veja A·B + A·B: escrito assim, ele precisa de 4 portas (um inversor, dois E, um OU). Simplificado, ele se reduz a A, e um simples fio basta: B não servia para nada.

A calculadora conta as portas antes e depois e, quando é bem mais econômico, também propõe uma escrita que usa uma porta mais especializada: A·B + A·B pede 5 portas, ou um só OU exclusivo.

E para montar de verdade?

Numa protoboard, com uma alimentação de 5 V, os circuitos integrados da família 74HC são um bom ponto de partida. O painel Para montar calcula quais você precisa:

Quatro coisas a saber, que os esquemas lógicos não mostram:

• Cada CI precisa ser alimentado: nessas referências de 14 pinos, o + vai no pino 14 e o − (terra) no pino 7. Esses circuitos aceitam de 2 a 6 V. Confira sempre a pinagem na folha de dados do seu componente.
• 0 e 1 são faixas de tensão: em 5 V, um 74HC lê como 0 o que está abaixo de cerca de 1,5 V, e como 1 o que está acima de cerca de 3,5 V. Entre as duas, o resultado não é garantido.
• Uma entrada nunca fica solta: sem ligação, ela não vale nem 0 nem 1, e o circuito se comporta ao acaso. Para um interruptor, liga-se a entrada ao − por um resistor de 10 kΩ (um resistor de pull-down), e o interruptor ao +. As entradas das portas não usadas são ligadas ao + ou ao −.
• A saída só fornece uma corrente pequena: para um LED indicador, acrescente um resistor de cerca de 1 kΩ em série. A lei de Ohm explica por quê: veja o cálculo de tensão, corrente e resistência, e o código de cores dos resistores para reconhecê-lo.

Essas montagens de baixa tensão são feitas com uma fonte de 5 V ou uma pilha, nunca na rede elétrica.

De onde vem esse cálculo?

O matemático britânico George Boole (1815-1864) publicou em 1854 An Investigation of the Laws of Thought, em que escreve o raciocínio lógico na forma de cálculo. Ele não tinha nenhuma máquina em mente. Foi preciso esperar até 1937 para que Claude Shannon aplicasse esse cálculo aos circuitos de relés, abrindo caminho para toda a eletrônica digital. Um processador atual não passa, no fundo, de um número enorme dessas portas lógicas, feitas de transistores minúsculos.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre OU e OU exclusivo?

O OU vale 1 se pelo menos uma entrada vale 1, inclusive quando as duas valem 1. O OU exclusivo vale 1 se as duas entradas são diferentes: não quando as duas valem 1. No dia a dia, “ou vai ou racha” é um OU exclusivo.

A minha resposta é diferente da calculadora: estou errado?

Não necessariamente: uma mesma função tem várias escritas. Digite a sua resposta e a da calculadora, separadas por um sinal de igual, por exemplo A.B + A.C = A.(B+C): a ferramenta compara as duas tabelas-verdade e diz se elas são iguais.

Por que o resultado às vezes usa uma barra sobre tudo, ou um ⊕?

O cartão “Forma simplificada” dá a escrita esperada na maioria dos exercícios, com E, OU e barras sobre as letras. O cartão “Com o mínimo de portas” só aparece se uma porta mais especializada economiza pelo menos duas portas.

Como um circuito consegue calcular, só com 0 e 1?

Juntando muitas portas. Um somador de um bit se faz com poucas portas: o algarismo do resultado é um OU exclusivo, e o vai-um uma combinação de E e de OU. O exemplo “Somador completo” da lista calcula os dois. Pondo vários somadores em sequência, somam-se números inteiros.

Salvar os resultados

O botão Salvar acrescenta a expressão, a sua forma simplificada, a sua soma de produtos e o número de portas ao histórico, abaixo da calculadora, com uma linha por saída. As células podem ser editadas, uma coluna Nota permite anotar cada linha (“exercício 3”, “aula prática”), e o conjunto pode ser exportado em CSV ou PDF.

Salvar a tela ou compartilhar

O botão Salvar imagem gera uma imagem PNG da expressão, da sua forma simplificada, do esquema mostrado e da tabela-verdade, sempre com fundo claro, mesmo no tema escuro: dá para colá-la num relatório de aula prática. O botão Link para compartilhar cria um endereço que contém a expressão ou a tabela, e o estado das entradas: quem o abre encontra a mesma tela. Nada é gravado no site: tudo cabe no endereço.

Atalhos de teclado

Fora do campo de digitação, para que digitar a expressão não acione nada:

m ⇝ Limpar

f ⇝ Salvar