Fatorar um trinômio do segundo grau

Esta calculadora fatora um trinômio do segundo grau, ax² + bx + c, e mostra como se chega lá: cálculo do discriminante Δ, raízes exatas (frações e radicais simplificados, em vez de valores arredondados), forma fatorada e depois a mesma forma sem frações, quando é possível. Cada etapa usa os números do seu trinômio: dá para conferir um exercício linha por linha, e não só a resposta.

Ela também dá a forma canônica e o vértice da parábola, indica quando um método mais rápido se aplica (fator comum, produto notável, raiz evidente) e, quando Δ é negativo, fatora no conjunto dos números complexos.

Para encontrar as soluções de uma equação ax² + bx + c = 0, veja também a ferramenta equação de segundo grau; para simplificar uma raiz quadrada sozinha, simplificar a raiz quadrada.

Como digitar o trinômio?

Há duas maneiras, nas duas abas no topo da calculadora:

• Trinômio: digite-o como no caderno, 2x² − x − 1, ou 2x^2-x-1 no teclado. Um f(x) = no começo e um = 0 no fim são ignorados, e uma letra diferente de x, como t, é aceita.
• Coeficientes a, b, c: cada coeficiente tem a sua caixa. É mais prático no celular, onde o ² fica longe no teclado. b e c deixados em branco valem 0.

As frações se escrevem 1/2, os decimais 0,5 ou 0.5, e 1/2x² é lido como (1/2)x². Uma expressão ainda não desenvolvida também é aceita: (x + 1)² − 4, x(x + 3) − 10 ou 2(x − 1)(x + 3) − (x − 1) são primeiro desenvolvidas e reduzidas, e o detalhe dos cálculos mostra a forma obtida.

Os cálculos são exatos: os decimais viram frações, e nenhum valor arredondado entra na forma fatorada. O botão Exemplo mostra vários trinômios, um para cada caso.

Fatorar com o discriminante (fórmula de Bhaskara)

Para fatorar ax² + bx + c, com a ≠ 0, calcula-se o discriminante Δ = b² − 4ac. O seu sinal decide a forma fatorada:

As raízes são as da fórmula de Bhaskara, x = (−b ± √Δ)/2a. O coeficiente a fica na frente dos parênteses: esquecê-lo é o erro mais comum. (x + 1/2)(x − 1) não é igual a 2x² − x − 1, e sim à metade dele.

Exemplo: fatorar 2x² − x − 1

• Os coeficientes: a = 2, b = −1 e c = −1.
• O discriminante: Δ = (−1)² − 4 × 2 × (−1) = 1 + 8 = 9. Ele é positivo, e √Δ = 3.
• As raízes: x₁ = (1 − 3)/4 = −1/2 e x₂ = (1 + 3)/4 = 1.
• A forma fatorada: 2x² − x − 1 = 2(x + 1/2)(x − 1).
• Sem frações, levando o 2 para o primeiro parêntese: 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1).

Para verificar, desenvolvemos: (2x + 1)(x − 1) = 2x² − 2x + x − 1 = 2x² − x − 1. Também daria para notar que a + b + c = 2 − 1 − 1 = 0: então 1 é uma raiz evidente, e a outra raiz sai do produto das raízes, c/a = −1/2.

Escrever a forma fatorada sem frações

Quando os coeficientes são inteiros e as raízes racionais, o coeficiente a se distribui nos parênteses. Com 6x² + x − 2, as raízes são −2/3 e 1/2, e 6 = 3 × 2:

6x² + x − 2 = 6(x + 2/3)(x − 1/2) = (3x + 2)(2x − 1)

As duas escritas estão certas. A primeira segue a fórmula a(x − x₁)(x − x₂); a segunda se lê com mais facilidade e se desenvolve sem frações. A calculadora dá as duas, e o detalhe dos cálculos mostra como passar de uma para a outra.

Quando ir mais rápido que o discriminante?

O discriminante sempre funciona, mas alguns trinômios se fatoram num relance:

• Fator comum em evidência: sem termo independente, x vai para fora, 2x² − 3x = x(2x − 3).
• Diferença de dois quadrados, A² − B² = (A − B)(A + B): sem termo em x, 4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3).
• Trinômio quadrado perfeito, A² ± 2AB + B² = (A ± B)²: x² + 6x + 9 = (x + 3)², 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².
• Raiz evidente: se a + b + c = 0, 1 é raiz e a outra vale c/a; se a − b + c = 0, −1 é raiz e a outra vale −c/a. É um caso particular do método da soma e do produto.

A calculadora reconhece esses casos e mostra o método rápido abaixo do método do discriminante, no detalhe dos cálculos.

Quando Δ é negativo: não há fatoração em ℝ

Um trinômio de discriminante negativo nunca se anula: ele mantém o sinal de a para todo valor de x, e por isso não pode ser escrito como o produto de dois fatores do primeiro grau com coeficientes reais. É o caso de x² + x + 1, cujo discriminante vale 1 − 4 = −3.

Com os números complexos, estudados no ensino médio, ele se fatora no conjunto ℂ. As duas raízes são conjugadas, z₁ = (−b − i√|Δ|)/2a e z₂ = (−b + i√|Δ|)/2a, e o trinômio vale a(x − z₁)(x − z₂). Para x² + x + 1, z = (−1 ± i√3)/2. O painel Fatorar em ℂ faz esse cálculo.

Forma canônica e vértice da parábola

Todo trinômio também se escreve a(x − m)² + k, com m = −b/2a e k = −Δ/4a: é a sua forma canônica. O ponto V(m ; k), de coordenadas x_v = −b/2a e y_v = −Δ/4a, é o vértice da parábola que o representa, e k é o valor mínimo do trinômio se a > 0, o máximo se a < 0. Para 2x² − x − 1, a forma canônica é 2(x − 1/4)² − 9/8, e o vértice V(1/4 ; −9/8).

O botão Traçar a parábola abre a calculadora gráfica com a curva já traçada, enquadrada no vértice e nas raízes.

Verificar uma fatoração

Uma fatoração se verifica desenvolvendo-a: é preciso reencontrar o trinômio de partida. Quando as raízes têm um radical, é mais rápido verificar que a soma delas vale −b/a e o produto c/a. O detalhe dos cálculos termina com uma dessas verificações.

Salvar os resultados

O botão Salvar acrescenta o trinômio, o seu discriminante, as suas raízes e a sua forma fatorada ao histórico, abaixo da calculadora. As células podem ser editadas, uma coluna Nota permite anotar cada linha (“exercício 12”, “lição de casa”), e o conjunto pode ser exportado em CSV ou PDF.

Salvar a tela ou compartilhar

O botão Salvar imagem gera uma imagem PNG do trinômio, do seu discriminante, das suas raízes e das suas formas fatorada e canônica, sempre com fundo claro, mesmo no tema escuro. O botão Link para compartilhar cria um endereço que contém o trinômio: quem o abre encontra os mesmos resultados e o mesmo detalhe. Nada é gravado no site: tudo cabe no endereço.

Atalhos de teclado

Fora dos campos de digitação, para que digitar o trinômio não acione nada:

m ⇝ Limpar

f ⇝ Salvar