Calculadora de matrizes online

Esta calculadora faz todas as operações com matrizes vistas no ensino médio e na faculdade: adição, subtração, produto de matrizes, multiplicação por um escalar, transposta, determinante, matriz inversa, traço e posto. As duas matrizes podem ir de 1 × 1 a 6 × 6, e cada cálculo pode ser mostrado passo a passo.

O cálculo é feito inteiramente no seu navegador: nada do que você digita é enviado ao site.

Como usar esta calculadora de matrizes?

• Primeiro, escolha a operação na lista. Só as matrizes usadas pela operação ficam na tela: não é preciso preencher B para calcular o determinante de A.
• Ajuste as dimensões com os botões + e − acima de cada grade. Os elementos já digitados são mantidos quando você aumenta ou diminui uma matriz.
• Digite os elementos. A vírgula e o ponto decimal são aceitos, e uma caixa deixada em branco vale zero.
• O resultado aparece automaticamente, sem botão para apertar. Ele é mostrado como matriz e também numa linha de texto que o botão Copiar coloca na área de transferência.
• O botão Passo a passo mostra o raciocínio completo: elemento por elemento para um produto, regra de Sarrus para um determinante 3 × 3, escalonamento além disso.

Andar pela grade com o teclado

A tecla Tab passa para a próxima caixa, como numa planilha. As setas para cima e para baixo mudam de linha, as setas para a esquerda e para a direita mudam de coluna quando o cursor chega à borda da caixa, e a tecla Enter desce uma linha. No fim de uma linha, o cursor passa para o começo da seguinte.

O que é uma matriz?

Uma matriz é uma tabela retangular de números, organizados em linhas e colunas. As suas dimensões se escrevem “número de linhas × número de colunas”: uma matriz 2 × 3 tem 2 linhas e 3 colunas. O número no cruzamento da linha i com a coluna j se chama elemento aᵢⱼ.

Uma matriz com tantas linhas quanto colunas é chamada de quadrada. Só as matrizes quadradas têm determinante, traço e, eventualmente, inversa.

Adição e subtração de duas matrizes

A adição e a subtração são feitas elemento a elemento: o elemento da linha i e da coluna j do resultado vale aᵢⱼ + bᵢⱼ numa soma e aᵢⱼ − bᵢⱼ numa diferença.

Essas duas operações exigem que as duas matrizes tenham exatamente as mesmas dimensões. Somar uma matriz 2 × 3 e uma matriz 3 × 2 não faz sentido, e a calculadora avisa em vez de devolver um resultado sem sentido.

Exemplo: a soma das matrizes 2 × 2 de elementos 1, 2, 3, 4 e 5, 6, 7, 8 vale 6, 8, 10, 12.

Multiplicar uma matriz por um escalar

Multiplicar uma matriz por um número k (chamado escalar) é multiplicar cada um dos seus elementos por k. As dimensões não mudam. É a operação mais simples com matrizes, e a que permite, por exemplo, mudar a unidade de uma tabela inteira de dados.

Escolha “k × A” ou “k × B” na lista de operações: uma caixa para o escalar aparece então abaixo das grades. Um escalar negativo ou decimal é aceito.

O produto de matrizes A × B

O produto de matrizes não tem nada a ver com uma multiplicação elemento a elemento. Cada elemento do resultado é o produto escalar de uma linha de A por uma coluna de B: multiplicam-se os termos dois a dois e depois se soma tudo.

A condição de existência

O produto A × B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. O resultado tem então tantas linhas quanto A e tantas colunas quanto B: multiplicar uma matriz 2 × 3 por uma matriz 3 × 4 dá uma matriz 2 × 4. Se a condição não for cumprida, a calculadora explica o problema lembrando as dimensões em questão.

O produto de matrizes não é comutativo

Ao contrário da multiplicação de números, A × B e B × A em geral não dão o mesmo resultado (quando os dois estão definidos). É um dos erros mais comuns no começo, e por isso as duas ordens aparecem separadamente na lista de operações.

Exemplo: o produto das matrizes 2 × 2 de elementos 1, 2, 3, 4 e 5, 6, 7, 8 vale 19, 22, 43, 50, enquanto o produto no outro sentido vale 23, 34, 31, 46.

A transposta de uma matriz

A transposta, escrita Aᵀ (ou Aᵗ), troca as linhas e as colunas: o elemento da linha i, coluna j vai para a linha j, coluna i. Uma matriz 2 × 3 vira então uma matriz 3 × 2. A transposta da transposta devolve a matriz de partida.

Ela aparece em toda parte na estatística e no aprendizado de máquina, em particular no produto AᵀA usado pela regressão linear.

Calcular um determinante

O determinante é um número associado a toda matriz quadrada. Ele mede o fator pelo qual a transformação multiplica as áreas ou os volumes e, sobretudo, responde a uma pergunta decisiva: a matriz é invertível se e somente se o seu determinante é diferente de zero.

Determinante de uma matriz 2 × 2

Para uma matriz 2 × 2 de elementos a, b na primeira linha e c, d na segunda, o determinante vale a × d − b × c: o produto da diagonal principal menos o da diagonal secundária.

Determinante de uma matriz 3 × 3: a regra de Sarrus

Para uma matriz 3 × 3, a regra de Sarrus soma os três produtos obtidos descendo para a direita e depois subtrai os três produtos obtidos descendo para a esquerda. O passo a passo mostra os seis produtos, com os seus valores, antes de dar o total.

Atenção: essa regra só funciona para matrizes 3 × 3. Aplicá-la a uma matriz 4 × 4 é um erro clássico em prova.

Determinante de uma matriz 4 × 4 ou maior: escalonamento

Além de 3 × 3, a calculadora triangulariza a matriz por escalonamento (método de Gauss). Somar a uma linha um múltiplo de outra não muda o determinante; trocar duas linhas muda o seu sinal. Com a matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal, corrigido pelo sinal das trocas feitas. O teorema de Laplace dá o mesmo resultado.

Inverter uma matriz

A inversa de uma matriz quadrada A, escrita A⁻¹, é a matriz que verifica A × A⁻¹ = I, em que I é a matriz identidade. Ela faz o papel do “1 dividido por” dos números, e só existe se o determinante de A não for nulo. Uma matriz de determinante nulo é chamada de singular: a calculadora avisa explicitamente em vez de mostrar valores absurdos.

Inversa de uma matriz 2 × 2

Para uma matriz 2 × 2 de elementos a, b, c, d, trocamos a e d, mudamos o sinal de b e de c e dividimos tudo pelo determinante a × d − b × c.

Inversa de uma matriz 3 × 3 ou maior: Gauss-Jordan

A partir de 3 × 3, a calculadora usa o método de Gauss-Jordan: junta-se a matriz identidade à direita de A e depois se leva a parte esquerda à identidade com operações elementares nas linhas. A parte direita vira então a inversa procurada. Cada etapa é mostrada, com o traço que separa as duas metades da matriz ampliada.

Os elementos de uma inversa quase sempre são frações. Ative Resultados em frações para ler um terço em vez de 0,333333.

Traço e posto de uma matriz

O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Ele é igual à soma dos autovalores, o que o torna uma verificação rápida em álgebra linear.

O posto (ou característica) é o número de linhas não nulas da forma escalonada obtida pelo método de Gauss, isto é, o número máximo de linhas linearmente independentes. Ao contrário do determinante, ele se define para qualquer matriz, quadrada ou não. Para uma matriz quadrada de ordem n, o posto vale exatamente n quando a matriz é invertível.

O passo a passo

O botão Passo a passo mostra o raciocínio completo, adaptado à operação pedida:

• adição e subtração: o cálculo de cada elemento, um por um;
• produto de matrizes: a soma dos produtos linha por coluna para cada caixa do resultado;
• determinante: a fórmula das diagonais em 2 × 2, a regra de Sarrus em 3 × 3, a triangularização além disso;
• inversa: a fórmula direta em 2 × 2, o método de Gauss-Jordan a partir de 3 × 3, com a matriz ampliada depois de cada operação nas linhas;
• posto: as operações do escalonamento e a forma escalonada final.

É a maneira mais rápida de encontrar onde um exercício deu errado, em vez de só constatar que o resultado é diferente.

Salvar e exportar os seus cálculos

O botão Salvar ou o atalho f acrescenta o cálculo atual ao histórico, com a operação, as matrizes digitadas e o resultado. Todas as células do histórico continuam editáveis, e uma coluna de notas permite anotar cada linha. O conjunto pode depois ser exportado em CSV ou PDF.

Atalhos de teclado

Estes são os atalhos de teclado disponíveis nesta página:

m ⇝ Limpar

f ⇝ Salvar

O botão Limpar esvazia as duas grades e traz as matrizes de volta ao formato 2 × 2. A operação escolhida e as dimensões das matrizes são mantidas de uma visita para a outra: reencontrar o seu formato de trabalho habitual não exige nenhum ajuste.

Para que servem as matrizes?

Resolver um sistema de equações lineares

Um sistema de n equações com n incógnitas se escreve na forma A × X = B. Quando A é invertível, a solução única vale X = A⁻¹ × B. Basta então calcular a inversa de A e depois fazer o produto com a coluna dos termos independentes: duas operações desta calculadora são suficientes. Para resolver um sistema de equações lineares de uma só vez, com o determinante, o posto e o detalhe do escalonamento, o site tem uma calculadora própria.

Transformações geométricas e computação gráfica

As rotações, reflexões, homotetias e projeções podem todas ser representadas por matrizes. Compor duas transformações é multiplicar as suas matrizes, e desfazer uma é inverter a sua matriz. É a base do cálculo em 3D, dos jogos eletrônicos e da modelagem.

Estatística, dados e aprendizado de máquina

Um conjunto de dados cabe naturalmente numa matriz: uma linha por observação, uma coluna por variável. Regressão linear, análise de componentes principais e redes neurais se apoiam inteiramente em produtos de matrizes e transpostas.

Probabilidade e cadeias de Markov

Uma matriz de transição descreve as probabilidades de passar de um estado a outro. Elevar essa matriz ao quadrado ou ao cubo (isto é, encadear produtos de matrizes) dá as probabilidades depois de duas ou três etapas.

As mensagens de erro mais comuns

• “O produto A × B exige que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B”: ajuste as dimensões com os botões + e −, ou inverta a ordem do produto.
• “Para somar duas matrizes, elas devem ter as mesmas dimensões”: a adição e a subtração não aceitam nenhuma diferença de formato.
• “só existe para uma matriz quadrada”: o determinante, o traço e a inversa só são definidos se a matriz tiver tantas linhas quanto colunas. O posto, por sua vez, sempre pode ser calculado.
• “não é invertível: o seu determinante é nulo”: as linhas da matriz são linearmente dependentes. Confira o que você digitou, ou calcule o posto para saber quantas linhas são realmente independentes.