Calculadora gráfica online, grátis e sem instalar nada

Esta calculadora gráfica online traça a curva de uma função num plano cartesiano, como fariam uma TI-84 Plus, uma Casio Graph ou o computador da sala de aula.

Você escreve f(x), a curva aparece à medida que digita, e depois você pode mover o plano, ampliá-lo, percorrer a curva ponto a ponto e procurar as raízes, os extremos e as interseções.

Seis curvas podem conviver no mesmo plano, cada uma com a sua cor, o que já basta para comparar uma função e a sua tangente, uma parábola e uma reta, ou uma família de curvas que só diferem por um parâmetro.

Uma fórmula pode até conter letras: escreva ax+b e dois cursores aparecem embaixo da lista de funções. Ao arrastá-los, a reta gira e se desloca diante dos seus olhos (um botão até faz eles variarem sozinhos). E um botão f′ em cada linha acrescenta a curva da função derivada, pontilhada.

O gráfico obtido pode ser salvo como imagem, com a legenda das curvas, para colar num trabalho; e um link o reabre exatamente como está na tela, o que permite enviá-lo a alguém.

Nada para instalar, nada para criar: a página funciona no computador, no tablet e no celular, com o seu próprio teclado para as teclas que o teclado do sistema não tem (x, π, √, as potências).

Para o cálculo numérico sozinho (trigonometria, logaritmos, estatística, sem traçado), a calculadora científica online do site foi feita para isso, e as duas páginas usam exatamente a mesma forma de escrever as expressões.

Ajuda da calculadora gráfica

Traçar uma primeira curva

Escreva a expressão da função no campo f₁(x) =, no alto da calculadora. A curva é traçada conforme você digita: não há tecla nenhuma para confirmar.

O botão + Adicionar uma função abre uma segunda linha, depois uma terceira, até seis. Cada linha tem a sua cor, lembrada pela bolinha à sua frente; um clique nessa bolinha esconde a curva sem apagar a fórmula, o que é prático para comparar duas curvas mostrando-as uma de cada vez.

O × no fim da linha apaga a função. O botão Apagar tudo recomeça com uma calculadora vazia.

Se a expressão tiver um erro, uma mensagem o explica abaixo do campo, mas só depois de uma pequena pausa, para dar tempo de terminar de digitar: sin(x) passa por s, si e sin, que ainda não querem dizer nada.

Escrever uma função

A variável se escreve sempre x. As quatro operações se escrevem +, -, × (ou *) e ÷ (ou /), e a ordem das operações é respeitada: 2+3x vale 2 + (3×x).

A multiplicação implícita

O sinal de multiplicação pode ser omitido antes da variável, de um parêntese, de uma constante ou de uma função: 2x, 3(x+1), 2π e 2xsin(x) são compreendidos. É a forma habitual de escrever em matemática, e é a que a calculadora espera.

As potências

A potência se escreve ^: x^3. As teclas x² e x³ do teclado escrevem direto os expoentes ² e ³, que se leem melhor: x²-2 é mais claro que x^2-2. O expoente pode ser negativo (x^-2) e a potência se associa à direita, então 2^3^2 vale 2⁹.

As raízes

A raiz quadrada se escreve √( ou sqrt( ou raiz(, a raiz cúbica ∛( ou cbrt(, e a raiz enésima root(x;n).

Os parênteses não fechados

Os parênteses deixados abertos são fechados automaticamente: sin(x traça a mesma curva que sin(x). Nunca é preciso contá-los.

A vírgula e o ponto e vírgula

A vírgula é o separador decimal, como no Brasil: 1,5x traça a reta de coeficiente 1,5 (o ponto também é aceito). Dentro dos parênteses de uma função que aceita vários argumentos, porém, a vírgula separa esses argumentos: em log(x,2) ela separa o número da sua base. Nas funções de um único argumento — sin(, ln(, √( — não há nada para separar, e a vírgula continua decimal. Para não depender disso, o separador de argumentos desta calculadora é o ponto e vírgula, como nas planilhas: log(x;2), root(x;5). Usá-lo uma vez devolve à vírgula o papel decimal em toda a fórmula.

Fazer um parâmetro variar

Uma fórmula não é obrigada a conter só números. Escreva ax+b em vez de 2x+3, e dois cursores aparecem embaixo da lista de funções: ao arrastá-los, a reta gira e se desloca ao vivo. É a maneira mais curta de entender para que servem os coeficientes de uma função do primeiro grau.

As letras disponíveis

Doze letras são ajustáveis: a, b, c, d, h, k, m, n, p, q, r e t. São as dos enunciados (os coeficientes a, b, c, a inclinação m e o termo independente p, o deslocamento h e a altura k, o índice n).

As outras letras continuam recusadas, exceto x para a variável e e para o número de Euler.

Não há nada a declarar: o cursor de uma letra aparece assim que uma fórmula a usa, e some assim que ela é apagada. Duas funções que usam a mesma letra compartilham o mesmo cursor.

Ajustar, limitar, animar

O campo à esquerda do cursor dá o valor exato e aceita uma expressão: escreva π/2 em vez do valor decimal. Um valor fora do intervalo empurra o limite em vez de ser forçado de volta.

Os dois campos pequenos à direita ajustam o intervalo percorrido, de −10 a 10 por padrão. Reduza-o para um ajuste fino, alargue-o para explorar.

O botão ▶ inicia a animação: o parâmetro faz a ida e a volta entre os seus limites em dez segundos, e a curva se deforma sozinha. É aí que se vê o que um parâmetro realmente faz (uma parábola que se abre e vira de cabeça para baixo quando a muda de sinal, uma senoide que desliza ao longo do eixo. Um segundo toque para a animação).

Algumas fórmulas para experimentar

ax+b (a função do primeiro grau): a inclina a reta, b sobe e desce ela.

a(x-h)²+k (a forma canônica do segundo grau): h e k são exatamente as coordenadas do vértice, e a a abertura da parábola.

a·sin(bx+c) (amplitude, frequência e fase de uma senoide): cada uma no seu cursor.

x^n (anime n entre 1 e 5 para ver a curva passar da reta à parábola, e depois à cúbica).

Mover e ampliar o plano

O plano se maneja diretamente, sem passar por ajustes:

Com o mouse: clique e arraste para mover o plano; gire a rodinha para ampliar em torno do ponteiro. Ao passar por cima do gráfico, as coordenadas do ponteiro aparecem no canto superior direito.

Com o dedo: arraste para mover, e afaste ou aproxime dois dedos para ampliar.

Com o teclado: clique primeiro no gráfico para dar o foco a ele, depois use as setas ← → ↑ ↓ para movê-lo, e + e − para ampliar.

Os botões + e − sobre o gráfico ampliam em torno do centro, o que às vezes é mais prático que a rodinha quando se quer manter a origem no lugar.

Ajustar a janela

Quatro botões, na barra de cima, cobrem os casos mais frequentes:

Padrão volta ao plano de −10 a 10 nos dois eixos, aquele por onde quase sempre se começa.

Escalas iguais ajusta o eixo y para que uma unidade meça a mesma quantidade de pixels nos dois eixos. É a condição para que um círculo seja redondo e para que duas retas perpendiculares pareçam perpendiculares: sem isso, a reta y = x não faz um ângulo de 45°.

Trigo coloca a janela de −2π a 2π e gradua o eixo x em múltiplos de π. Um eixo graduado 3,14 / 6,28 não diz nada; o mesmo eixo graduado π / 2π se lê sozinho.

Ajustar alinha o eixo y aos valores que as curvas realmente assumem na janela. É o botão a usar quando a curva está achatada ou sai da tela e não se sabe que escala escolher.

A aba Janela, abaixo do gráfico, dá acesso aos quatro limites Xmin, Xmax, Ymin e Ymax. Eles aceitam uma expressão: escrever -2π é mais curto, e mais exato, do que copiar o valor decimal.

Percorrer a curva

O botão Percorrer coloca um ponto sobre a curva e mostra as suas coordenadas. O ponto segue o mouse ou o dedo; no teclado, as setas ← e → o avançam um pixel, e com Shift dez pixels de uma vez.

Quando várias curvas estão traçadas, as setas ↑ e ↓ passam de uma curva para outra, como numa calculadora gráfica de verdade.

Quando o ponto chega à borda do plano, é a janela que desliza: dá para seguir uma curva tão longe quanto se queira sem perdê-la de vista. O botão Guardar este ponto copia as suas coordenadas para o histórico de resultados, abaixo da calculadora.

Raízes, extremos e interseções

A aba Pontos notáveis procura sozinha, na janela mostrada:

As raízes da função, isto é, as abscissas onde a curva corta o eixo horizontal. São as soluções da equação f(x) = 0.

Os extremos locais, isto é, os pontos onde a curva muda de sentido: ela subia e passa a descer (um máximo), ou descia e passa a subir (um mínimo). A calculadora gráfica dá as coordenadas deles. Um lugar onde a curva desacelera sem mudar de sentido — como x³ em 0, que se achata um instante antes de continuar a subir — não é um extremo, e por isso não é anunciado.

A interseção com o eixo y, ou seja f(0), quando a abscissa 0 está na janela.

As interseções com uma segunda curva, a escolher na lista. É a forma gráfica de resolver uma equação f(x) = g(x): trace os dois membros e leia as abscissas dos pontos em comum.

O botão Centralizar traz o ponto encontrado para o centro do plano, o que permite ampliá-lo para olhá-lo de perto. O botão Guardar o arquiva no histórico de resultados.

Um detalhe importante: a busca só cobre a parte visível da curva. Uma função como o seno tem infinitas raízes; alargar a janela faz aparecer outras.

Derivada, tangente e curva de f′

A curva da função derivada

O botão f′, à direita de cada linha de função, acrescenta a curva da sua derivada no plano (pontilhada, na mesma cor da função, e abaixo dela para não escondê-la).

É a leitura gráfica do estudo de crescimento, numa única imagem: onde a curva pontilhada passa acima do eixo x, a função sobe; onde ela passa abaixo, a função desce; e onde ela corta o eixo, a função tem um extremo. Experimente com x³-3x: a derivada é a parábola 3x²-3, e as suas duas raízes em −1 e 1 caem exatamente no máximo e no mínimo da cúbica.

As duas curvas se ajustam separadamente: a bolinha de cor esconde a função sem mexer na derivada, e o botão f′ tira a derivada sem mexer na função.

A derivada e a tangente num ponto

A aba Derivada e integral pede uma abscissa e dá, para a curva estudada, a imagem f(x), a derivada f′(x) e a equação reduzida da reta tangente nesse ponto.

O botão Traçar a tangente coloca essa reta no gráfico, pontilhada. É a forma mais rápida de conferir uma equação de tangente encontrada na mão: se a reta calculada acompanha a curva no ponto certo, a conta está correta.

A derivada é obtida numericamente, por uma diferença centrada de cinco pontos, tanto para a curva quanto para o valor num ponto. Ela é exata a menos dos erros de arredondamento, o que basta de sobra para conferir um exercício, mas não é cálculo simbólico: a calculadora traça a derivada, ela não dá a expressão dela.

Integral e área sob a curva

Dois limites a e b bastam para obter a integral da função entre eles, calculada pelo método de Simpson. O botão Colorir a área pinta a superfície correspondente entre a curva e o eixo x.

É o que torna visível uma propriedade que o cálculo sozinho deixa abstrata: a área contada abaixo do eixo é negativa. Pegue sin(x) em radiano, integre de 0 a π e você obtém 2; de 0 a 2π, você obtém 0, porque as duas partes se compensam.

A tabela de valores

A aba Tabela de valores dá as imagens das funções traçadas para uma sequência de abscissas regulares, definida por um início, um passo e uma quantidade de linhas. É o equivalente da tecla «table» de uma calculadora gráfica.

Ela serve para duas coisas: montar uma tabela de valores pedida num exercício, e localizar uma mudança de sinal (portanto uma raiz) entre duas linhas seguidas. O botão Enviar para o histórico copia a tabela inteira abaixo da calculadora, de onde ela pode ser exportada em CSV para uma planilha ou em PDF.

Salvar o gráfico, ou compartilhá-lo

A imagem

O botão Salvar a imagem, abaixo do plano, gera um arquivo PNG pronto para ser inserido num trabalho de casa, num relatório ou numa aula. A imagem é salva com o dobro do tamanho mostrado: ela continua nítida depois de impressa.

Ela traz no canto superior esquerdo a legenda das curvas (a equação de cada uma, na sua cor, e o valor dos parâmetros no momento em que foi salva). Uma curva sem a sua equação não quer dizer mais nada fora da página; a legenda evita ter que copiá-la ao lado. No canto inferior direito fica o endereço desta página: um gráfico que circula num trabalho ou numa apresentação diz assim de onde veio, e onde refazê-lo.

Os botões de zoom e o botão «Percorrer» não aparecem nela, ao contrário do que uma captura de tela teria levado junto. E a imagem sempre sai com fundo claro: um gráfico escuro impresso em papel branco fica ilegível.

O link

O botão Link de compartilhamento monta um endereço que contém todo o gráfico: as fórmulas, a janela, o modo de ângulo, os parâmetros e os seus valores, as curvas derivadas mostradas. Quem abrir encontra exatamente a mesma tela, e pode continuar a ampliar, mover e estudar a partir dali.

O link é copiado para a área de transferência e substitui o endereço da página, de modo que você também pode pegá-lo na barra do navegador. Ele aparece igualmente num campo, com um botão Copiar para pegá-lo a qualquer momento (útil quando o navegador recusa o acesso à área de transferência, o que acontece na navegação anônima em alguns celulares: o link fica então selecionado, basta copiá-lo pelo teclado).

É o que um professor manda para a turma para propor um exercício sobre um gráfico preciso, e o que um aluno manda de volta para mostrar onde chegou. Nada é gravado no site: tudo está no endereço, e ele funciona indefinidamente.

Abrir um link recebido não mexe no seu próprio gráfico: se você tinha ligado «Guardar meu trabalho», a memória deste aparelho fica apenas em pausa durante essa visita, e você reencontra as suas curvas no carregamento seguinte da página, sem o link.

Guardar seu trabalho de uma visita à outra

A calculadora abre na mesma parábola a cada visita. A chave «Guardar meu trabalho», embaixo da calculadora, muda isso: as suas funções passam a ser gravadas no seu navegador, com a janela do plano, o modo de ângulo, a malha, a graduação, os seus parâmetros e os seus cursores, além dos campos do painel de estudo (o ponto examinado, os limites da integral, o ajuste da tabela de valores). Você reencontra tudo isso tal como estava na visita seguinte, mesmo depois de fechar a aba.

Nada é enviado pela internet: tudo fica neste navegador, neste aparelho (o seu trabalho não segue você de um computador para outro — para isso, envie o link de compartilhamento para si mesmo).

A chave começa desligada, porque num computador compartilhado, na biblioteca ou na sala de aula, reencontrar as curvas do visitante anterior não teria graça nenhuma. Desligá-la apaga na hora o que tinha sido guardado. E se você apagar tudo antes de sair, é uma tela vazia que vai reencontrar: a memória guarda o que você deixa, não o que a página propunha no começo.

Grau ou radiano

O modo de ângulo muda completamente o aspecto de uma curva trigonométrica. Em radiano, sin(x) faz um período em 6,28 unidades; em grau, precisa de 360, e numa janela de −10 a 10 a curva parece quase reta.

O modo aparece na barra de cima e vale radiano por padrão, como em todas as calculadoras gráficas e como no ensino médio e na faculdade. O sufixo ° permite forçar os graus para um número isolado, mesmo em modo radiano: sin(30°) vale 0,5.

Todas as escritas aceitas

Os nomes em português levam às mesmas funções: raiz(, arredondar(, valorabsoluto(, exponencial(, arcsin(, piso(, teto(, mdc( e mmc( são compreendidos.

O teclado do computador

Os campos de funções se preenchem pelo teclado do computador, sem passar pelo teclado da calculadora. Algumas equivalências úteis:

* ⇝ ×

/ ⇝ ÷

^ ⇝ potência

Enter ⇝ abrir uma nova linha de função

No gráfico, uma vez que ele tem o foco: ← → ↑ ↓ para se deslocar, + e − para ampliar.

O teclado da calculadora, recolhido por padrão no computador, abre com o botão Mostrar o teclado. Ele já vem aberto no celular: as teclas x, π, √ e os expoentes não existem em nenhum teclado de sistema.

Exemplos, do fundamental à faculdade

Ensino fundamental

Trace 2x+1: a reta corta o eixo y em 1 e sobe 2 quando x aumenta 1. Acrescente -x+4 e peça as interseções: o ponto em comum (1 ; 3) é a solução do sistema. É a resolução gráfica de um sistema de duas equações.

Trace x² e depois x³ num plano com escalas iguais, e compare o aspecto delas dos dois lados da origem.

Ensino médio (1º e 2º ano)

Trace x²-4x+3. A aba dos pontos notáveis dá as raízes 1 e 3, e o mínimo no vértice (2 ; −1). Você reencontra a forma canônica (x-2)²-1 sem ter feito a conta.

Trace 1÷x: a curva é cortada em duas perto de 0, exatamente onde a função não é definida. Nenhum traço vertical liga os dois ramos (é uma assíntota, não um valor).

Confira uma equação de reta tangente: digite a função, escolha o ponto, leia a equação dada e mostre a tangente.

Escreva a(x-h)²+k e anime a: a parábola se abre, se fecha, e depois vira de cabeça para baixo quando o coeficiente fica negativo. Ajuste depois h e k: são as coordenadas do vértice, e isso se vê.

Ensino médio (3º ano) e vestibular

Trace exp(-x²), a curva em forma de sino, e integre-a de −2 a 2: você obtém 1,7641628. Colora a área para ver do que se trata.

Trace ln(x) e x-1: as duas curvas se tocam em (1 ; 0) sem se cruzar, o que é a tradução gráfica da desigualdade ln(x) ≤ x-1.

Mostre a derivada de x³-3x²+2 com o botão f′: o estudo de crescimento se lê de um golpe de vista, a função subindo em todo lugar onde a pontilhada está acima do eixo.

Passe para o modo Trigo e trace sin(x) e cos(x): as interseções caem em π/4 e nos seus múltiplos.

Faculdade

Compare x, x², exp(x) e ln(x) numa mesma janela, ajustando o eixo y: as ordens de crescimento se veem de um golpe de vista.

Trace sin(x)÷x: a curva passa por 1 em zero, embora a função não seja definida ali (o limite se lê no gráfico).

Trace tanh(x) e as suas assíntotas 1 e -1.

O histórico de resultados

Cada valor guardado com um botão Guardar (uma raiz, um extremo, uma interseção, uma derivada, uma integral, um ponto percorrido, uma tabela inteira) é registrado na tabela «Histórico de resultados», abaixo da calculadora, com a função em questão. Cada célula pode ser alterada, e uma coluna de notas permite anotar as linhas.

Você pode exportar essa tabela em CSV para abri-la numa planilha, ou gerar um documento PDF.

O que esta calculadora não faz

Ela traça funções da forma y = f(x), e nada mais: nem curvas paramétricas, nem coordenadas polares, nem sequências, nem estatística de duas variáveis, nem equações implícitas como x²+y²=1. Um círculo só pode ser obtido traçando as duas semicircunferências, √(1-x²) e -√(1-x²), num plano com escalas iguais.

Ela também não faz cálculo simbólico: traça a curva da derivada mas não dá a expressão dela, não fatora e não resolve uma equação literalmente. Os valores que mostra são obtidos numericamente, com a precisão dos números de ponto flutuante (mais que suficiente para um exercício, nunca para uma demonstração).

Para resolver exatamente, veja a equação do segundo grau, a equação do primeiro grau ou o coeficiente angular de uma reta.

Para quem serve esta calculadora

Para alunos do ensino médio, antes de tudo: a leitura gráfica do crescimento de uma função, a conferência de uma tangente, a resolução gráfica de uma equação e a tabela de valores estão no programa do 1º ao 3º ano, e uma calculadora gráfica nem sempre está à mão — no Brasil, quase nunca.

Para universitários, para visualizar uma função antes de estudá-la (uma curva diz em um segundo o que uma tabela de sinais leva uma página para estabelecer).

E para professores, enfim, que podem projetar o plano e fazer aparecer uma curva depois da outra, ou mostrar ao vivo o efeito de um parâmetro sobre o aspecto de uma família de curvas.