Como calcular os quartis de uma série?

Ordene a série em ordem crescente e encontre a mediana, que a divide em uma metade inferior e uma metade superior (quando o número de valores é ímpar, a mediana não entra em nenhuma das duas). O primeiro quartil Q1 é a mediana da metade inferior, o terceiro quartil Q3 a mediana da metade superior. Com 20 valores, Q1 é a média do 5º e do 6º valores e Q3 a média do 15º e do 16º.

Como calcular o desvio-padrão de uma série?

Calcule a média da série, depois o desvio de cada valor em relação a essa média, e eleve-o ao quadrado. A média desses quadrados é a variância V, e o desvio-padrão é a sua raiz quadrada: σ = √V. Para uma amostra, divide-se a soma dos quadrados por N − 1 em vez de N.

Qual é a diferença entre o desvio-padrão σ e o desvio-padrão s?

σ divide a soma dos quadrados dos desvios por N: ele descreve uma população completa. s divide por N − 1: ele serve quando a série é só uma amostra de um conjunto maior. No Excel, o primeiro corresponde a DESVPAD.P, o segundo a DESVPAD.A.

Por que a minha planilha não dá os mesmos quartis que a minha calculadora?

Existem várias convenções de cálculo dos quartis. As calculadoras TI tomam a mediana de cada metade da série, e as planilhas interpolam entre dois valores. Na série 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 18, Q1 vale 9,5 numa TI e 9,75 com QUARTIL.INC do Excel.

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Minha Calculadora simples : Estatísticas de uma série

Separe os valores com um espaço, um ponto e vírgula ou uma quebra de linha. Uma coluna de planilha pode ser colada do jeito que está.

Uma frequência deixada em branco conta como 1.

{erreur}

{avertissement}

Arredondamento dos cálculos

Posição

Número de valores N

{affichage.n}

Média x̄

{affichage.moyenne}

Mediana Md

{affichage.mediane}

Primeiro quartil Q1

{affichage.q1}

Terceiro quartil Q3

{affichage.q3}

Moda

{affichage.mode}

Dispersão

Mínimo

{affichage.minimum}

Máximo

{affichage.maximum}

Amplitude

{affichage.etendue}

Intervalo interquartil

{affichage.ecartInterquartile}

Variância V

{affichage.variance}

Desvio-padrão σ

{affichage.ecartType}

Desvio-padrão amostral s, dividido por N − 1: {affichage.ecartTypeEchantillon}

Diagrama de caixa (boxplot)

Tabela de frequências
Valor	Frequência absoluta	Frequência relativa	Frequência acumulada	Frequência relativa acumulada
{ligne.valeur}	{ligne.effectif}	{ligne.frequence}	{ligne.cumul}	{ligne.frequenceCumulee}
Total	{affichage.n}	100%

As últimas {lignesTableauMasquees} linhas da tabela não são exibidas.

Detalhe dos cálculos Posições, fórmulas e valores intermediários

Acima de 60 valores, a série ordenada não é mostrada posição por posição.

Quartis por outros métodos Planilhas e outras definições: por que Q1 e Q3 podem mudar

A mediana é a mesma nos três métodos; Q1 e Q3 nem sempre. Esta página usa as medianas das duas metades, como as calculadoras TI, e as diferenças são explicadas abaixo da calculadora.

{convention.nom}

{convention.outil}

{convention.badge}

Q1 = {convention.q1} Q3 = {convention.q3}

{convention.principe}

{ligne}

Link desta série

Outras ferramentas

Calcular uma mediana Calcular uma média Rolar dados

Histórico dos resultados (Todas as células são editáveis)

Série ordenada	N	Média	Mediana	Q1	Q3	Desvio-padrão	Nota
{y}

Calcular o desvio-padrão, os quartis e o diagrama de caixa de uma série

Esta calculadora estatística dá de uma só vez as medidas de uma série estatística: média, mediana, quartis, moda, amplitude, intervalo interquartil, variância e desvio-padrão. Ela também monta a tabela de frequências, com as frequências acumuladas, e desenha o diagrama de caixa da série, também chamado de boxplot.

Os quartis são calculados como as medianas das duas metades da série, o método das calculadoras TI-83 e TI-84, e o detalhe dos cálculos mostra de onde vem cada resultado: as posições usadas para cada quartil, os valores correspondentes, a soma dos quadrados dos desvios. Dá para conferir um exercício linha por linha, e não só a resposta.

Para uma única medida, uma ferramenta dedicada é mais rápida: calcular uma média, calcular uma mediana, ou a média ponderada quando cada valor tem o seu peso.

Como digitar a série?

Há duas maneiras, nas duas abas no topo da calculadora:

Lista de valores: digite ou cole os valores da série, em qualquer ordem, separados por um espaço, um ponto e vírgula ou uma quebra de linha. Uma coluna copiada do Excel, do Google Planilhas ou do LibreOffice pode ser colada do jeito que está. As casas decimais podem ser escritas com vírgula ou com ponto: 12,5 e 12.5 dão o mesmo valor.
Valores e frequências: quando o enunciado traz uma tabela (a nota 12 tirada por 5 alunos, a nota 14 por 8 alunos, e assim por diante), digite cada valor com a sua frequência, sem repeti-lo várias vezes. Uma frequência deixada em branco conta como 1, e o botão + 4 linhas aumenta a grade até 200 linhas.

Os resultados se atualizam a cada tecla, sem botão para confirmar. O que não é número é ignorado e indicado abaixo do campo, para que nada se perca sem aviso. O botão Exemplo preenche a calculadora com as notas de uma prova, para ver na hora o que ela mostra.

As medidas calculadas

Medida	O que ela indica	Cálculo
Número de valores N	a quantidade de valores da série	soma das frequências
Média x̄	o centro da série, no sentido da soma	soma dos valores ÷ N
Mediana Md	o valor que divide a série ordenada em duas metades	valor do meio, ou média dos dois valores do meio
Quartis Q1 e Q3	os limites do quarto inferior e do quarto superior da série	mediana da metade inferior e mediana da metade superior
Moda	o valor mais frequente	valor de maior frequência
Amplitude	a diferença entre os dois valores extremos	máximo − mínimo
Intervalo interquartil	a dispersão da metade central da série	Q3 − Q1
Variância V	a dispersão em torno da média, em unidades ao quadrado	média dos quadrados dos desvios em relação à média
Desvio-padrão σ	a dispersão em torno da média, na unidade dos valores	raiz quadrada da variância

O painel Detalhe dos cálculos acrescenta os decis D1 e D9, o coeficiente de variação e a parte dos valores situados no intervalo [x̄ − 2σ ; x̄ + 2σ]. O arredondamento escolhido só vale para os resultados de um cálculo (média, variância, desvio-padrão, frequências relativas): a mediana, os quartis e os extremos são mostrados exatos, já que saem da própria série.

Como calcular os quartis?

O primeiro quartil Q1 é a mediana da metade inferior da série, e o terceiro quartil Q3 é a mediana da metade superior. Na prática:

ordene a série em ordem crescente;
encontre a mediana, que divide a série em uma metade inferior e uma metade superior; quando N é ímpar, a própria mediana não entra em nenhuma das duas;
Q1 é a mediana da metade inferior, Q3 a mediana da metade superior.

Com as 20 notas do exemplo abaixo, cada metade tem 10 valores: Q1 é a média do 5º e do 6º valores, e Q3 a média do 15º e do 16º. Com 19 valores, o 10º valor é a mediana, a metade inferior vai do 1º ao 9º valor, e Q1 é o 5º valor.

Um quartil, portanto, nem sempre é um valor da série: assim como a mediana, ele pode cair no meio de dois valores.

Por que a minha calculadora ou planilha não encontra os mesmos quartis?

Porque não existe uma única definição de quartil, e sim várias convenções. Elas dão a mesma mediana e, muitas vezes, os mesmos quartis, mas divergem em algumas séries, sobretudo nas pequenas.

Medianas das duas metades: o método descrito acima, usado pelas calculadoras TI-83 e TI-84 e por muitos livros didáticos.
Interpolação das planilhas: QUARTIL.INC e QUARTIL no Excel, e QUARTIL no Google Planilhas e no LibreOffice Calc, põem Q1 na posição (N − 1) × 0,25 + 1 e tomam um valor intermediário entre os dois valores em volta dessa posição. QUARTIL.EXC segue ainda outra regra.
Menor valor com 25% abaixo ou igual: a definição ensinada no ensino médio francês, em que um quartil é sempre um valor da série: Q1 é o valor da posição N ÷ 4, arredondada para cima.

Na série 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 16 ; 18, os três métodos dão três resultados:

Método	Q1	Mediana	Q3
Medianas das metades (TI, esta página)	9,5	12,5	15
Planilhas (QUARTIL.INC)	9,75	12,5	14,5
Valor com 25% abaixo ou igual	9	12,5	14

Nenhum deles está errado, mas uma prova espera o do curso. A calculadora mostra as medianas das metades e dá os outros dois no painel Quartis por outros métodos: se a sua planilha não chegar ao mesmo Q1, você vai saber por quê.

Desvio-padrão: dividir por N ou por N − 1?

Depende do que a série representa. Se ela contém todos os valores que interessam (as notas da turma inteira, as vendas de cada mês do ano), a variância é calculada dividindo por N: é o desvio-padrão populacional σ, mostrado em destaque pela calculadora.

Se a série é só uma amostra tirada de um conjunto maior (algumas peças retiradas de uma produção, as respostas de uma pesquisa), divide-se a soma dos quadrados dos desvios por N − 1: é o desvio-padrão amostral s, um pouco maior, que corrige a tendência de uma amostra a subestimar a dispersão do conjunto. Ele aparece logo abaixo das medidas.

Ferramenta	Divisão por N	Divisão por N − 1
Esta calculadora	σ	s
Calculadoras gráficas	σx	Sx ou sx
Excel	DESVPAD.P (antes DESVPADP)	DESVPAD.A (antes DESVPAD)

Numa série grande, a diferença entre os dois fica desprezível. Em 20 notas, ela ainda aparece: 3,32 contra 3,40 no exemplo abaixo.

No meio de um cálculo, a calculadora científica também dá os dois: stDevPop para σ, stDevSamp para s.

Como ler um diagrama de caixa (boxplot)

O diagrama de caixa resume uma série com cinco números colocados sobre um eixo graduado: o mínimo, Q1, a mediana, Q3 e o máximo.

a caixa vai de Q1 a Q3: ela contém a metade central da série, e o seu comprimento é o intervalo interquartil;
o traço que a corta marca a mediana;
os bigodes vão da caixa até o mínimo e o máximo: cada um cobre cerca de um quarto dos valores, e de uma ponta à outra o diagrama mede a amplitude.

Uma caixa estreita indica valores concentrados em torno da mediana; um bigode bem mais comprido que o outro, uma série esticada para um lado. Dois diagramas traçados no mesmo eixo comparam duas séries num relance, por exemplo as notas de duas turmas.

Alguns livros param os bigodes nos últimos valores a menos de 1,5 × o intervalo interquartil da caixa e marcam os valores além disso como pontos isolados, os valores discrepantes (outliers). A calculadora traça a forma simples, até os extremos.

Exemplo: as notas de uma prova

Um professor anota as 20 notas a seguir: 12 ; 15 ; 9 ; 14 ; 10 ; 18 ; 13 ; 16 ; 7 ; 12 ; 20 ; 11 ; 15 ; 13 ; 10 ; 17 ; 12 ; 14 ; 8 ; 16. É a série que o botão Exemplo carrega.

Em ordem crescente: 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 17 ; 18 ; 20.

A soma das notas é 262: a média é 262 ÷ 20 = 13,1.
N = 20 é par: a mediana é a média da 10ª e da 11ª notas, (13 + 13) ÷ 2 = 13.
A metade inferior vai da 1ª à 10ª nota: Q1 = (10 + 11) ÷ 2 = 10,5. A metade superior vai da 11ª à 20ª: Q3 = (15 + 16) ÷ 2 = 15,5. O intervalo interquartil vale 5, a amplitude 20 − 7 = 13.
A soma dos quadrados dos desvios em relação à média é 219,8: a variância é 219,8 ÷ 20 = 10,99, e o desvio-padrão σ = √10,99 ≈ 3,32.
A nota 12, tirada três vezes, é a moda.

A média e a mediana são próximas: a série é mais ou menos simétrica. Cerca de metade da turma tirou entre 10,5 e 15,5, e o desvio-padrão mede a distância típica das notas até a média: um pouco mais de três pontos.

Nessa mesma série, a função QUARTIL.INC do Excel dá 10,75 e 15,25, e a definição do ensino médio francês 10 e 15: um exemplo das convenções descritas acima.

Salvar os resultados

O botão Salvar acrescenta os principais resultados ao histórico, abaixo da calculadora: o começo da série ordenada, o número de valores, a média, a mediana, Q1, Q3 e o desvio-padrão. As células podem ser editadas, uma coluna Nota permite anotar cada linha (“1º ano B”, “prova 3”), e o conjunto pode ser exportado em CSV ou PDF.

Salvar a tela ou compartilhar

O botão Salvar imagem gera uma imagem PNG das medidas e do diagrama de caixa, sempre com fundo claro, mesmo no tema escuro: ela pode ser colada do jeito que está num relatório ou num trabalho. O botão Link para compartilhar cria um endereço que contém a série: quem o abre encontra os mesmos resultados. Nada é gravado no site: tudo cabe no endereço.

Atalhos de teclado

Fora dos campos de digitação, para que digitar a série não acione nada:

m ⇝ Limpar

f ⇝ Salvar